СТЕПЕННЫЕ ОЦЕНКИ СРЕЗОК НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 

Пожидаев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191), math@stu.ru
Пекельник Наталья Михайловна, кандидат педагогических наук, доцент, кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191), pekelniknm@mail.ru
Хаустова Олеся Игоревна, кандидат педагогических наук, доцент, кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191), lex711@yandex.ru
Трефилова Ирина Александровна, преподаватель, кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191), koja@mail.ru

517

Актуальность и цели. Распределение Гаусса естественно возникает во многих приложениях и широко используется в различных теоретических построениях. Важную роль играет и нижняя срезка Q(x) несобственного интеграла от плотности стандартного гауссова распределения. Целью данной работы является получение оценок сверху для произвольной степени функции Q(x) через несобственный интеграл того же вида с нижней границей ax, где a – некоторый параметр.
Материалы и методы. Для получения необходимых оценок изучалось поведение разности Qm(x) −Q( mx) на различных интервалах числовой оси, при этом широко использовались хорошо известные свойства гауссова распределения. Кроме того, были выведены точные неравенства для показатель-
ной функции специального вида и получены оценки сверху и снизу функции Q(x) .
Результаты. В работе показано, что для любого действительного x (при m > 2 ) выполняется неравенство Qm(x) < Q(ax) , где a – произвольное число из интервала 1; m . Кроме того, установлено, что данное неравенство является неулучшаемым по параметру a . Так, в статье показано, что правая граница интервала для a не может быть больше m , а левая меньше 1.
Выводы. Произвольную степень функции Q(x) можно равномерно оценить сверху через функцию того же вида с аргументом ax. Полученные оценки могут быть использованы в социологических и демографических исследованиях, в эконометрике и статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения.

вероятностная плотность, гамма-функция, дополнительная функция ошибок, логарифмически вогнутая функция, неулучшаемые оценки, распределение Гаусса, степенные оценки, функция распределения

1. Alzer, H. On some inequalities for the incomplete gamma function / H. Alzer // Mathematics of Computation. – 1997. – Vol. 66, № 218. – P. 771–778.
2. Natalini, P. Inequalities for the incomplete gamma function / B. Palumbo // Mathematical Inequalities and Applications. – 2000. – Vol. 3, № 1, P. 69–77.
3. Qi, F. Monotonicity results and inequalities for the gamma and incomplete gamma functions / // Mathematical Inequalities and Applications. – 2002. – Vol. 5, № 1. – P. 61–77.
4. Baricz, A. A functional inequality for the survival function of the Gamma distribution / A. Baricz // Journal Inequalities in Pure and Applied Mathematics. – 2008. – Vol. 9, № 1. – Article 13.
5. Xiao-Li Hu. Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions / Xiao-Li Hu // Journal of Mathematical Inequalities. – 2010. – Vol. 4, № 4. – P. 609–613.